滑动窗口算法

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滑动窗口算法www.shan-machinery.com概念

滑动窗口算法可以用以解决数组/字符串的子元素问题,它可以将嵌套的循环问题,转换为单循环问题,降低时间复杂度。

示例1

给定一个整数数组,计算长度为 'k' 的连续子数组的最大总和。

输入:arr [] = {100,200,300,400} k = 2输出:700解释:300 + 400 = 700暴力法

我们可以很容易想到暴力法来解决这个问题,使用两个 for 循环来不断查找长度为 k 的最大总和。

JavaScript 示例代码

function maxSum(arr, k) {const n = arr.lengthlet maxSum = Number.MIN_SAFE_INTEGER;for (let i = 0; i < n - k + 1; i++) {let currentSum = 0;for (let j = 0; j < k; j++) {currentSum = currentSum + arr[i + j];}maxSum = Math.max(currentSum, maxSum);}return maxSum;}

因为包含两个 for 循环,它的时间复杂度是 O(k * n)。

滑动窗口算法

滑动窗口算法可以将嵌套的循环问题,转换为单循环问题,降低时间复杂度。

根据示例,当 k 等于 2 时,我们维护一个长度为 2 的窗口。

窗口内的值的和保存在一个变量中;通过不断的往右滑动来算出当前窗口的值,并与保存的最大值作比较;当窗口滑动到最右边时终止滑动;滑动窗口

JavaScript 示例代码

function maxSum(arr, k) {const n = arr.length;if (n < k) {return -1;}// 计算出第一个窗口的值let maxSum = 0;for (let i = 0; i < k; i++) {maxSum += arr[i];}let sum = maxSum;for (let i = k; i < n; i++) {// 新窗口的和 = 前一个窗口的和 + 新进入窗口的值 - 移出窗口的值sum += arr[i] - arr[i - k];maxSum = Math.max(maxSum, sum);}return maxSum;}

我们在一个循环中计算出了长度为 'k' 的子数组的最大总和,它的时间复杂度是 O(n)。我们可以使用滑动窗口算法解决 查找最大/最小k子阵列,XOR,乘积,求和等问题。

示例2

给定一个字符串 S 和一个字符串 T,请在 S 中找出包含 T 所有字母的最小子串。(minimum-window-substring)

输入: S = "ADOBECODEBANC", T = "ABC"输出: "BANC"

这个问题让我们无法按照示例 1 中的方法进行查找,因为它不是给定了窗口大小让你找对应的值,而是给定了对应的值,让你找最小的窗口。

我们仍然可以使用滑动窗口算法,只不过需要换一个思路。

既然是找最小的窗口,我们先定义一个最小的窗口,也就是长度为 0的窗口。

长度为 0的窗口

我们比较一下当前窗口在的位置的字母,是否是 T 中的一个字母。

很明显, A 是 ABC 中的一个字母,也就是 T 所有字母的最小子串 可能包含当前位置的 S 的值。

如果包含,我们开始扩大窗口,直到扩大后的窗口能够包含 T 所有字母。

AD 不能够包含 T 所有字母ADOBEC 包含 T 的所有字母

假设题目是 在 S 中找出包含 T 所有字母的第一个子串,我们就已经解决问题了,但是题目是找到最小的子串,就会存在一些问题。

当前窗口内可能包含了一个更小的能满足题目的窗口窗口没有滑动到的位置有可能包含了一个更小的能满足题目的窗口

为了解决可能出现的问题,当我们找到第一个满足的窗口后,就从左开始缩小窗口。

如果缩小后的窗口仍满足包含 T 所有字母的要求,则当前窗口可能是最小能满足题目的窗口,储存下来之后,继续从左开始缩小窗口。如果缩小后的窗口不能满足包含 T 所有字母的要求,则缩小窗口停止,从右边开始扩大窗口。DOBEC 不包含 T 的所有字母DOBECODEBA 包含 T 的所有字母

不断重复上面的步骤,直到窗口滑动到最右边,且找不到合适的窗口为止。最小满足的窗口就是我们要找的 S 中包含 T 所有字母的最小子串。

BANC 包含 T 的所有字母,且是最小子串

JavaScript 示例代码

/** * @param {string} s * @param {string} t * @return {string} */var minWindow = function(s, t) {const map = {};for (let i = 0; i < t.length; i++) {if (map[t[i]]) {map[t[i]]++;} else {map[t[i]] = 1;}}let left = 0;let right = 0;let count = t.length;let max = Number.MAX_SAFE_INTEGER;let res = s;while (right < s.length) {if (map[s[right]] > 0) {count--;}map[s[right]]--;right++;while (count === 0) {if (right - left < max) {max = right - left;res = s.slice(left, right);}map[s[left]]++;if (map[s[left]] > 0) {count++;}left++;}}return max === Number.MAX_SAFE_INTEGER ? "" : res;};

它的时间复杂度是 O(s + t)

示例3

给定一个字符串,请你找出其中不含有重复字符的 最长子串 的长度。(longest-substring-without-repeating-characters)

输入: "abcabcbb"输出: 3 解释: 因为无重复字符的最长子串是 "abc",所以其长度为 3。

和示例 2 相似,我们不断的扩大/缩小窗口,把无重复字母的窗口大小保存下来,直到窗口滑动结束,就找到了不含有重复字符的 最长子串 的长度。

JavaScript 示例代码

/** * @param {string} s * @return {number} */var lengthOfLongestSubstring = function(s) {const map = {};let left = 0;let right = 0;let max = 0;while (right < s.length) {if (!map[s[right]]) {map[s[right]] = 1;right++;} else {while (left < right) {delete map[s[left]];if (map[s[left++]] === map[s[right]]) {break;}}}max = Math.max(max, right - left);}return max;};

时间复杂度是 O(n)

示例4

给定一个字符串 s 和一个非空字符串 p,找到 s 中所有是 p 的字母异位词的子串,返回这些子串的起始索引。(find-all-anagrams-in-a-string)

输入:s: "cbaebabacd" p: "abc"输出:[0, 6]解释:起始索引等于 0 的子串是 "cba", 它是 "abc" 的字母异位词。起始索引等于 6 的子串是 "bac", 它是 "abc" 的字母异位词。

与示例 1 类似,我们维护一个长度为 p 的窗口,然后不断往右滑动查找当前窗口是否为 p 的字母异位词。

var findAnagrams = function(s, p) {const map = new Array(26).fill(0);for (let i = 0; i < p.length; i++) {map[p[i].charCodeAt() - 97]++;}const r = [];for (let i = 0, j = 0; i < s.length; i++) {const c = s[i].charCodeAt() - 97;map[c]--;while (map[c] < 0) {const c2 = s[j].charCodeAt() - 97;j++;map[c2]++;}if (i - j + 1 === p.length) {r.push(j);}}return r;};

时间复杂度为 O(s + p)

滑动窗口算法的应用

TCP 流量控制

参考:

Window Sliding Technique - GeeksforGeeks

https://www.youtube.com/watch?v=eS6PZLjoaq8&t=548s

sliding window algorithm

https://www.shan-machinery.com