研讨|互为逆否命题的两个命题的真假证明

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近日,有博友问,如何证明互为逆否命题的两个命题的真假性,思索后加以整理,和各位探讨。

回答学生

如果有学生提问,我们仅仅需要举例,让学生感受一下,互为逆否命题的两个命题是同真同假的,没必要给他们说严格证明的方法;因为我们学习常用逻辑用语时,仅仅是了解了逻辑的初步知识,目的不是研究逻辑,而是用逻辑用语来刻画、表达数学素材,让其表达形式更简洁、精炼。

引例1,原命题:“若\(x^{2}-3x+2=0\),则 \(x=1\)”,为假命题,

其逆否命题是:“若\(x\neq 1\),则\(x^{2}-3x+2\neq 0\)”,也为假命题;

引例2,原命题:“若\(x=1\),则 \(x^{2}-3x+2=0\) ”,为真命题,

其逆否命题是:“若\(x^{2}-3x+2\neq 0\),则\(x\neq 1\)”,也为真命题;

教师研讨

但是,同样的问题,如果是教师之间的研讨,那就需要首先将问题高度抽象化,然后用数学语言加以严格证明。

同样,为了保证证明的严格性和准确性,我们将证明的命题形式限定为“若\(p\),则\(q\)”的假言命题类型[高中阶段碰到的命题形式不见得都是假言命题类型];

证明:为了表述方便,我们先约定,用符号\(p(x)\)表示元素\(x\)具有属性\(p\),或者满足属性\(p\),用集合\(A\)表示所有具有属性\(p\)的元素构成的集合,

已知原命题为:“若\(p\),则\(q\)”,为真命题;则其逆否命题为:“若\(\neg q\),则\(\neg q\)”,我们欲证明其亦为真命题;

则\(A=\{x\mid p(x)\)成立\(\}\),\(B=\{x\mid q(x)\)成立\(\}\),全集为\(U\);

由于原命题为真命题,则\(A\subseteq B\)必然成立;

又由于 \(\neg q\) 对应的集合为 \(C_{U}B\), \(\neg p\) 对应的集合为 \(C_{U}A\),

则由 \(A\subseteq B\) 可知, \(C_{U}B\subseteq C_{U}A\) 必然成立,

故“若\(\neg q\),则\(\neg q\)” 亦为真命题;

同理,可证明原命题若为假命题,其逆否命题也为假命题;

综上所述,互为逆否命题的两个命题是同真同假的.

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