协整理论与误差修正模型

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各位道友好,很长时间没更新啦,前几天看了一位老师写的协整理论与误差修正模型的材料,感觉非常Nice。我把它搬运到微信公众号上,基本还原了讲稿的内容,请各位道友批评指正。

协整理论与误差修正模型

当许多传统的计量经济学模型在20 世纪70 年代的经济动荡面前预测失灵时,误差修正模型却显示了它 的稳定性和可靠性。对其原因进行深入分析之后发现,误差修正模型的非稳定的单整变量之间存在一种长期稳定关系。C.J.Granger把这种长期稳定关系称为“协整关系”,于是,一种新的理论——协整理论诞生了。虽然协整理论诞生于误差修正模型之后,但在本节中,为了便于理解,我们首先介绍协整理论,然后引出误差修正模型

将协整理论理误差修正模型作为单方程计量经济学模型的扩展的理由在于,传统的计量经济学模型是以 某种经济理论或对经济行为的认识来确立模型的理论关系形式,而在这里,则是从经济变量的数据中所显示 的关系出发,确定模型包含的变量和变量之间的理论关系。这是20世纪80年代以来计量经济学模型建模理论的一个重大发展。

1. 单整(Integration) 1.1 稳定序列

如果一个时间序列  x_t 是稳定的,则

其均值  E(x_{t}) 与时间  t 无关; 其方差  \operatorname{Var}\left(x_{t}\right) 是有限的,并不随着  t 的推移产生系统的变化。

于是,时间序列  x_{t} 将趋于返回它的均值,以一种相对不变的振幅围绕均值波动。 如果一个时间序列 x_{t} 是非稳定的,则其均值、方差将随  t 而改变。例如,随机游动序列  x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon_{t} \quad \varepsilon_{t} \sim N\left(0, \delta^{2}\right)

 x_{0}= 0 ,则  x_{t}=\sum_{i=1}^{t} \varepsilon_{i} \quad \operatorname{Var}\left(x_{t}\right)=t \delta^{2} 。当t \rightarrow \infty \text { 时, } \quad \operatorname{Var}\left(x_{t}\right) \rightarrow \infty 均值就无意义了,实际上序列 x_{t} 返回曾经达到过的某一点的期望时间是无穷大。

一个稳定序列一般以用一个自回归移动平均表达式  ARMA (p,q) 表示

x_{t}=\varphi_{1} x_{t-1}+\cdots+\varphi_{p} x_{t-p}+\xi_{t-1}+\cdots+\theta_{q} \xi_{t-q}\\

1.2 单整

如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过  d 次差分,则该序列被称为 d 单整。记为  I(d) 。换句话说,如果序列  x_{t} 是非稳定序列, \Delta^{d} x_{t} 是稳定序列,则是 x_{t} 序列 I(d) 。 其中  \Delta x_{t}=x_{t}-x_{t-1}, \Delta^{2} x_{t}=\Delta\left(\Delta x_{t}\right), \quad\Delta^{d} x_{t}=\Delta\left(\Delta^{d-1} x_{t}\right) \\

如果有两个序列分别为 d 阶单整和 e 阶单整,即

x_{t} \sim I(d), y_{t} \sim I(e), ed\\

则二序列的线性组合是 e 阶单整序列,即  z_{t}=\alpha x_{t}+\beta y_{t} \sim I(\max (d, e)) \\

1.3 单整的检验

对于时间序列  x_{t} ,建立下列方程:  x_{t}=\rho x_{t-1}+\varepsilon_{t} \quad or \quad \Delta x_{t}=(\rho-1) x_{t-1}+\varepsilon_{t} \\

如果  \rho 不显著为0,则序列 x_{t} 至少为1阶单整  I(1) 问题在于如何判断  \rho 是否是显著为0。

构造 统计量,但这时 统计量服从由Dickey和Fuller于1979年提出的Dickey-Fuller分布,即DF分布。像变量显著性检验统计量的计算一样,计算得到统计量的值;从DF分布表中查出给定显著性水平下的临界值;如果 统计量的绝对值大于临界值的绝对值,则拒绝 假设,序列至少为1阶单整I(1)。这就是Dickey-Fuller检验,也称单位根检验。

通过了1阶单整检验后,再建立如下方程:  \Delta^{2} x_{t}=(\rho-1) \Delta x_{t-1}+\varepsilon_{t} \\

进行同样过程的检验,如果通过检验,则序列  x_{t} 至少为2阶单整 I(2) \cdots\cdots 直到不能通过检验为止。通过该检验,同时也就确定了序列 x_{t} 的单整的阶数。

在DF检验中,由于不能保证方程中的一般讲,在经济数据中,表示流量的序列,例如以不变价格表示的消费额、收人等经常表现为1阶单整;表示存量的序列,例如以下不变价格表示的资产总值、储蓄余额等经常表现为2除单整;由于价格指数的作用,也经常表现为2除单整;而像利率等序列,经常表现为0阶单整。了解这些,对于选择什么变量进入模型是十分重要的。

在DF检验中,由于不能保证方程中的  \varepsilon_{t} 所以得到的 (\rho -1 ) 的估计值不是无偏的。 于是Dickey和Fuller于1979、1980年对DF检验进行了扩充,形成了扩充,形成了ADF(Augment Dickey-Fuller)检验。这是目前普遍应用的单整检验方法。由于其过程较为复杂,这里不作介绍。

2.协整(Cointegration) 2.1 定义及意义

如果序列  X_{1 t}, X_{2 t}, \cdots, X_{k t} 都是  d 阶单整,存在一个向量  a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right) ,使得  Z_{t}=a X_{t}^{\prime} \sim I(d-b)

其中,  b0, X_{t}^{\prime}=\left(X_{1 t}, X_{2 t}, \cdots, X_{k t}\right)^{\prime} ,则认为序列  X_{1 t}, X_{2 t}, \cdots, X_{k t}  (d-b) 阶协整,记为 X_{t} \sim C I(d, b)  a 为协整向量 例如,居民收入时间序列  Y_{t} 为1阶单整序列,居民消费时间序列  C_{t} 也为1阶单整序列,如果二者的线性组合  a_{1}Y_{t} + a_{2} C_{t} 构成的新序列为0阶单整序列,于是认为序列  Y_{t}  C_{t} 是(1,1)阶协整。

由此可见,如果两个变量都是单整变量,只有当它们的单整阶相同时,才可能协整,例如上面的居民收入  Y_{t} 和居民消费  C_{t} ;如果它们的单整阶不相同时,就不可能协整,例如居民消费 C_{t} 和居民储蓄余额 S_{t} (一般讲作为存量的居民储蓄余额 S_{t} 为2阶单整)。

三个以上的变量,如果具有不同的单整阶数,有可能经过线性组合构成低阶单整变量。例如,如果存在  W_{t} \sim I(1),\ \ V_{t} \sim I(2), \ \ U_{t} \sim I(2) \\ 并且 \begin{array}{l} P_{t}=a V_{t}+b U_{t} \sim I(1) \ Q_{t}=c W_{t}+e P_{t} \sim I(0) \end{array} \\

那么认为  \begin{array}{l} V_{t}, U_{t} \sim C I(2,1) \ W_{t}, P_{t} \sim C I(1,1) \end{array} \\

从协整的定义可以看出协整的经济意义在于:两个变量,虽然它们具有各自的长波动规律,但是如果它们是协整的,则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。例如居民收入  Y_{t} 和居民消费 C_{t} ,如果它们各自都是1阶单整,并且它们是(1,1)阶协整,则说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系,而这个比例关系就是消费倾向,也就是说消费倾向是不变的。从计量经济学模型的意义上讲,建立如下消费函数模型:  C_{t}=a_{0}+a_{1} Y_{t}+\mu_{t} \\

变量选择是合理的,随机误差项一定是“白噪声”(即均值为0、方差不变的稳定随机序列),模型参数有合理的经济解释。

反过来,如果两个变量,具有各自的长期波动规律,但是它们不是协整的,则它们之间就不存在着一个长期稳定的比例关系。 例如居民消费 C_{t} 和居民储蓄余额 S_{t} ,由于它们单整阶数不同,所以它们不是协整的,则说明它们之间不存在着一个长期稳定的比例关系。从计量经济学模型的意义上讲,建立如下消费函数模型:  C_{t}=a_{0}+a_{1} S_{t}+\mu_{t} \\或者  C_{t}=a_{0}+a_{1} Y_{t}+a_{2} S_{t}+\mu_{t} \\

变量选择是不合理的,随机误差项一定不是“白噪声”,模型参数没有合理的经济解释。

从这里,我们已经初步认识,检验变量之间的协整关系,在建立计量经济学模型中的重要性。而且,从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量,其数据基是牢固的,其统计性质是优良的。从协整理论出发,在建立消费函数模型时,就不会选择居民储蓄余额作为居民消费的解释变量;但是,按照传统的计量经济学建模理论,从已经认识的经济理论出发选择模型的变量,那么选择居民储蓄余额和居民收入共同作为居民消费的解释变量,不仅不感到奇怪,而且被认为是完全合理的,按照“生命周期消费理论”建立的消费函数模型正是这样的。

2.2 协整的检验

(1) 两变量的Engle-Granger检验。为了检验两变量  Y_{t}  X_{t} 是否为协整, Engle和Granger于1987年提出两步检验法。 第一步,用OLS方法估计下列方程:  Y_{t}=a X_{t}+\varepsilon_{t} \\

得到

\begin{array}{l} \hat{Y}_{t}=\hat{a} X_{t} \\ \hat{e}_{t}=Y_{t}-\hat{Y}_{t} \end{array} \\

称为协整回归。

第二步,检验  \hat{e}_t 的单整性。

如果 \hat{e}_t

为稳定序列,则认为变量  Y_t X_t 为(1,1)阶协整;如果  Y_t 为1阶单整,则认为变量  Y_t  X_t 为(2,1)阶协整 检验  \hat{e}_{t} 的单整性的方法即是上述的DF检验。

(2) 多变量协整关系的检验。上述Engle-Granger检验通常用于检验两变量之间的协整关系,对于多变量之间的协整关系,

Johansen于1988年,以及与Juselius于1990提出了一种用极大或然法进行检验的方法,通常称为Jo-hansen检验。

3. 误差修正模型(ECM)

误差修正模型(Error Correction Model) 是一种具有特定形式的计量经济学模型,它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的,称为DHSY模型。为了便于理解,我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。

3.1 误差修正模型

对于(1,1)阶自回归分布滞后模型

\begin{eqnarray} y_{t} & = & \beta_{0}+\beta_{1} z_{t}+\beta_{2} y_{t}+\beta_{3} z_{t-1}+\varepsilon_{t} \ \\ \ (1)\label{eq 3.3.1} \end{eqnarray}\\

移项后得到

\\ \begin{eqnarray} \Delta y_{t}& = & \beta_{0}+\beta_{1} \Delta z_{t}+\left(\beta_{2}-1\right) y_{t-1}+\beta_{3} z_{t-1}+\beta_{1} z_{t-1}+\varepsilon_{t} \label{eq 3.3.2} \\& =&\beta_{0}+\beta_{1} \Delta z_{t}+\left(\beta_{2}-1\right)\left(y-\dfrac{\beta_{1}+\beta_{3}}{1-\beta_{2}} z\right)_{t-1}+\varepsilon_{t}\ \ \ \ (2)\end{eqnarray}\\

方程 (2) 即为误差修正模型。 其中 y =\dfrac{\beta_{1}+\beta_{3}}{1-\beta_{2}}z 为误差修正项。

显然,(2) 实际上是一个短期模型,反映了 y_{t} 的短期波动 \delta y_{t} 是如何被决定的。 如果变量 y  z 之间存在长期均衡关系,即存在  y=a z

例如在 (1) 中,若 z=\bar{z} ,那么  y 的均衡值与  \bar{z} 有下列均衡关系 \vspace{-0.5em}  \bar{y}=\frac{\beta_{1}+\beta_{3}}{1-\beta_{2}} \bar{z} \\

(2) 中的误差修正项正是与它相一致的。所以它反映长期均衡对短期波动的影响;(2) 中的差分项反映变量短期波动的影响。于是,被解释变量的波动被分成两部分:一部分为短期波动,一部分为长期均衡。

模型 (2) 可以写成 \begin{eqnarray} \Delta y_{t} & = & \beta_{0}+\beta_{1} \Delta z_{t}+\gamma e c m+\varepsilon_{t} \end{eqnarray}\\

其中  ecm 表示误差修正项。由 (1) 可知,一般情况下  |\beta_{2} |1 ,所以有  \gamma=\beta_{2}-10 我们可以据此分析  ecm 的修正作用:若  (t-1) 时刻 大于其长期均衡解 \dfrac{\beta_{1}+\beta_{3}}{1-\beta_{2}} z  ecm 为正,

 \gamma \timesecm 为负,使得  \delta y_{t} 减少;若  (t-1) 时刻  y 小于其长期均衡解 \dfrac{\beta_{1}+\beta_{3}}{1-\beta_{2}} z  ecm 为负,

 \gamma \timesecm 为正,使得  \delta y_{t} 增大。体现了长期均衡误差对  y_{t} 的控制。

3.2  ECM 与协整的关系

对于上述(1,1)阶自回归分布滞后模型,如果  y_{t} \sim I(1), z_{t} \sim I(1) \\

对么,(2) 式左边  \Delta y_{t} \sim I(0) \\

右边的 \Delta z_{t} \sim I(0) 只有  y  z 协整,才能保证右边也是  I(0) 。此时,  \dfrac{\beta_{1}+\beta_{3}}{1-\beta_{2}} 为协整系数,  y_{t}-\dfrac{\beta_{1}+\beta_{3}}{1-\beta_{2}} z_{t} 即为均衡误差。

3.3 从协整理论到误差修正模型

前面提到,实际上是先有误差修正模型,然后用协整理论去解释误差修正模型。那么在今天,我们就可以首先对变量进行协整分析,以发现变量之间的协整关系,即长期均衡关系,求出协整系数,并以这种关系构成误差修正项。然后建立短期模型,将误差修正项看作一个解释变量,加同其他反映短期波动的解释变量一起,建立短期模型,即误差修正模型。

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